つーさのくーかん

なんか、れびたんに朝飯前って言われたようなので答え書いておきます。
考えてみたいしとはまだ読まないでください。

(1)とりあえず、数Aの範囲では。
左辺-右辺≧0 にして、展開して因数分解すると、二乗の和の形になるので成立。

実際やってみると……

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)-(ax+by+cz)²≧0

(a²x²+a²y²+a²z²+b²x²+b²y²+b²z²+c²x²+c²y²+c²z²)
- (a²x²+axby+axcz+byax+b²y²+bycz+cxaz+czby+c²z²) ≧ 0

a²x², b²y², c²z² は消えますね。

a²y²+a²z²+b²x²+b²z²+c²x²+c²y²-(2axby+2bycz+2cxaz)≧0

因数分解するために並べ替えます。

(a²y²-2axby+b²x²)+(b²z²-2bycz+c²y²)+(c²x²-2cxaz+a²z²)≧0

因数分解します。
(ay-bx)² + (bz-cy)² + (cx-az)² ≧ 0

よって成立。

等号条件は、ay=bx かつ bz=cy かつ cx=az
∴ a/b=x/y かつ b/c=y/z かつ c/a=z/x
∴ a:b:c = x:y:z のとき。

(2)
A,B,Cの管で入れられた水の量は、それぞれ 1/14, 4/14, 9/14 である。

A,B,Cから出る水の速さをそれぞれ a,b,c とおくと、
Aの管で 水槽の1/14 を満たすのに掛かる時間は 1/14a 分 (距離÷速さ！)
Bの管で 水槽の4/14 を満たすのに掛かる時間は 4/14b 分
Cの管で 水槽の9/14 を満たすのに掛かる時間は 9/14c 分

合計36分掛かっているので、
　1/14a + 4/14b + 9/14c = 36

両辺に14を掛けて
1/a + 4/b + 9/c = 36*14 ……(A)

ところで、題意を満たすには、
A,B,Cの管を使って14分後に水が溜まっていればいいので、
　14(a+b+c)≧1 ……★
を示せばよいことになる。

ここで(1)の式に、
a,b,c = √(1/a), √(4/b), √(9/c)
x,y,z = √a, √b, √c をそれぞれ代入すると

　(1/a + 4/b + 9/c)(a + b + c) ≧
　　　　　(√(1/a)*√a + √(4/b)*√b + √(9/c)*√c)²

これを整理して
(1/a + 4/b + 9/c)(a+b+c) ≧ (1+2+3)²

ここへ(A)を代入
(36*14)(a+b+c) ≧ 36

両辺36で割り
14(a+b+c) ≧ 1 ……★

よって題意は示された。//

(1)の誘導問題、要らなかったですか？ω